Question

設f（x）=lnx+

a

x

（a為常數）
（1）當a=2時，求f（x）在點（1，2）處的切線方程．
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求導函數，可得f′（1）=-1，f（1）=2，從而可得切線方程；
（2）當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，當a＞0時，令f′（x）＞0，則x＞a，從而可得函數的單調區間．

解答：解：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0），
（1）由于a=2，可得f′(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

（x＞0），
則f′（1）=-1，f（1）=2
∴切線方程：y-2=-1（x-1），即x+y-3=0；
（2）當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
當a＞0時，令f′（x）＞0，則x＞a
則函數的單調增區間為（a，+∞），單調減區間為（0，a）
故當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），
當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（a，+∞），單調減區間是（0，a）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，解題的關鍵是正確求導．