Question

設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）
（1）求g（x）的單調區間及極小值．
（2）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關系．

Answer 1

分析：（1）對g（x）求導數g′（x），利用g′（x）判定g（x）的單調區間與求極值；
（2）作差比較g（x）與g（

1

x

）的大小，可通過構造函數h（x）=g（x）-g（

1

x

），判定h（x）的單調性與取值范圍，從而確定g（x）、g（

1

x

）的大小．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx（x＞0），∴f′（x）=

1

x

；
∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）是減函數，
x＞1時，g′（x）＞0，g（x）是增函數；
∴g（x）有極小值是g（1）=1，單調減區間是（0，1），單調增區間是（1，+∞）；
（2）∵g（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x（x＞0），
∴g（x）-g（

1

x

）=2lnx+

1

x

-x（x＞0）；
令h（x）=2lnx+

1

x

-x（x＞0），
則h′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

2x-1-x2

x2

=

-(x-1)2

x2

≤0，
∴h（x）是（0，+∞）上的減函數；
又∵h（1）=0，
∴當0＜x＜1時，h（x）＞0，g（x）＞g（

1

x

）；
當x=1時，h（x）=0，g（x）=g（

1

x

）；
x＞1時，h（x）＜0，g（x）＜g（

1

x

）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的單調性求極值和解不等式的有關問題，是中檔題．