Question

設f（x）=lnx，g（x）=f′（x）+lnx
（1）求g（x）的單調區間和最小值．  
（2）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關系．
（3）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過函數的導數，求出函數的極值點，然后推出g（x）的單調區間和最小值．  
（2）構造函數F(x)=g(x)-g(

1

x

)=21nx-x+

1

x

，通過函數的導數，對x分類討論，推出g（x）與g(

1

x

)的大小關系．
（3）利用反證法，設存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對任意x＞0成立，導出矛盾結論，說明不存在滿足題意的值．

解答：解（1）由題意可知：g(x)=lnx+

1

x

∴g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

令g′（x）=0得x=1
∵0＜x＜1g′（x）＜0x＞1，g′（x）＞0
∴x=1是g（x）的唯一極小值點
∴最小值為g（1）=1
（2）g(

1

x

)=-lnx+x
設F(x)=g(x)-g(

1

x

)=21nx-x+

1

x

則F′(x)=-

(x-1)2

x2

當x=1時   F（1）=0即g(x)=g(

1

x

)
當0＜x＜1時   F¹（x）＜0F（1）=0
∴g(x)-g(

1

x

)＞0
即g(x)＞g(

1

x

)
當x＞1時   F¹（x）＜0F（1）=0
∴g(x)-g(

1

x

)＜0
即g(x)＜g(

1

x

)
（3）假設?x₀＞0，使|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對?x＞0
成立即 lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

取x0=eg(x0)
則lnx=g（x₀）
這與lnx＜g（x₀）矛盾
因此不存在x₀＞0，使|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對任意x＞0成立．

點評：本題考查函數的導數判斷函數的單調性，利用函數的最值判斷函數值的大小，反證法證明存在性問題的方法，考查邏輯推理能力與計算能力．