Question

設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）-g（x）＜

1

a

對(duì)任意x＞0成立．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，半徑兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g'（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
因此，x=1是g（x）的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，
從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g（1）=1．
（II）g(

1

x

)=-Inx+x
設(shè)h(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，則h'（x）=-

(x-1)2

x2

，
當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，即g(x)=g(

1

x

)，
當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(

1

x

)，
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(

1

x

)．
（III）由（I）知g（x）的最小值為1，
所以，g（a）-g（x）＜

1

a

，對(duì)任意x＞0，成立?g（a）-1＜

1

a

，
即Ina＜1，從而得0＜a＜e．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．主要考查導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)與整合思想．其考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．