Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義為兩點、

的“切比雪夫距離”，又設點及上任意一點，稱的最小值為點到

直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：

① 對任意三點、、，都有；

② 已知點和直線，則；

③ 定點、，動點滿足（），

則點的軌跡與直線（為常數）有且僅有2個公共點；

其中真命題的個數是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】設，由題意可得：

同理可得： ,則：

，

命題①成立；

設點Q是直線y=2x-1上一點，且Q（x,2x-1），可得，

由，解得，即有，當時取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，無最小值.

綜上可得，P,Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為.

說法②正確.

定點、，動點滿足（），則：

，

顯然上述方程所表示的曲線關于原點對稱，故不妨設x≥0，y≥0.

(1)當時，有，得： ；

(2)當時，有，此時無解；

(3)當時，有；

則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.

結合圖象可知，點的軌跡與直線（為常數）有且僅有2個公共點，命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確，真命題的個數是3.

本題選擇D選項.