Question

【題目】已知函數 (為實常數) ．

（I）當時，求函數在上的最大值及相應的值；

（II）當時，討論方程根的個數．

（III）若，且對任意的，都有，求

實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，當時，取等號;(Ⅱ) 當時，即時，方程有2個相異的根；當 或時，方程有1個根；當時，方程有0個根;(Ⅲ)

【解析】試題分析：（I）把代入函數解析式，求出函數的導函數，由導函數的零點把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內的單調性，從而求出函數在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（II）方程根的個數等價于時，方程根的個數, 設=，求導話簡圖，利用數形結合討論即可得解；
（III）a>0， 等價于，原題等價于函數在時是減函數， 恒成立，即在時恒成立，進而求函數最值即可.

試題解析：

（I），

當時， ，所以單調遞減；

當時， ，所以單調遞增.

又，

故，當時，取等號.

（II）易知，故，方程根的個數等價于時，方程根的個數。

設=，

當時， ，函數遞減，當時， ，函數遞增。又， ，作出與直線的圖像，

由圖像知：

當時，即時，方程有2個相異的根；

當 或時，方程有1個根；

當時，方程有0個根;

（III）當時， 在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于

即，故原題等價于函數在時是減函數，

恒成立，即在時恒成立。

在時是減函數，所以.

.