Question

已知（

3	x

+x²）²ⁿ的展開式的二項式系數和比（3x-1）ⁿ的展開式的系數和大992，
（1）求（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項；
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的系數最大的項和系數最小的項．

Answer 1

考點：二項式系數的性質,二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）由題意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，求得n=5．在（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的通項公式中，令x的冪指數為整數，求得得r的值，可得（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項．
（2）求出（x²-

1

x

）ⁿ的展開式的通項公式，可得第r+1項的系數，再利用二項式系數的性質求得展開式中的系數最大的項和系數最小的項．

解答： 解：（1）由題意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5．
∴（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 5

•(

1

2

)r•x

5

2

-

3r

4

．
令

5

2

-

3r

4

 為整數，可得r=2，故（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項為 T₃=

C

2 5

•

1

4

x=

5

2

x．
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ=（x²-

1

x

）⁵展開式的通項公式為

C

r 5

•（-1）^r•x^10-3r，
故第r+1項的系數為

C

r 5

•（-1）^r，r=0，1，2，3，4，5，
利用二項式系數的性質可得r=2時，第r+1項的系數最大，此項即T₃=10x⁴；
檢驗可得r=3時，第r+1項的系數最小，此項即T₄=-10x．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．