Question

【題目】知函數f（x）= （a＞1），求：
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）證明f（x）是R上的增函數；
（3）求該函數的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為R，

則f（﹣x） =﹣ =﹣f（x），

則函數f（x）是奇函數

（2）證明：f（x）= = =1﹣ ，

∵a＞1，∴ax是增函數，ax+1是增函數，

則 是減函數，﹣ 為增函數，

即f（x）=1﹣ 為增函數，

即f（x）是R上的增函數

（3）解：∵f（x）= = =1﹣ ，a＞1，

∴ax+1＞1，0＜ ，0＜ ＜2，

﹣2＜﹣ ＜0，﹣1＜1﹣ ＜1，

即﹣1＜y＜1，

故函數的值域為（﹣1，1）

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；（2）根據指數函數的單調性的性質即可證明f（x）是R上的增函數；（3）根據指數函數的性質即可求該函數的值域．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．