Question

設f（x）=lnx
（1）設F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，求F（x）的單調區間；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4對任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的解析式，再求出函數的導函數，分別令導函數大于0，小于0，其對應的區間分別為函數f（x）的單調增區間與單調減區間．
（2）首先分離出參數，再令y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])，然后把恒成立問題轉化為求最值問題，再利用函數的性質得到函數的單調性，進而求出其最大值，進而求m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得：F(x)=ln(x+2)-

2x

x+1

，
所以函數的定義域為：（-2，-1）∪（-1，+∞），
所以F′(x)=

1

x+2

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x+2

-

2

(x+1)2

=

(x+1)2-2(x+2)

(x+2)(x+1)2

=

x2-3

(x+2)(x+1)2

，
令F'（x）＞0，得單調增區間：（-2，-

3

)和(

3

，+∞）；
令F'（x）＜0，得單調減區間：(-

3

，-1）和（-1，

3

)，
所以F（x）的單調增區間為：（-2，-

3

)和(

3

，+∞）；單調減區間為：(-

3

，-1）和（-1，

3

)．
（2）不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4化為：ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²-3m+4，
即整理可得：ln

x+1

2x+1

≤-m2-3m+4．
設y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])，
所以只需求y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值≤-m²-3m+4即可，
因為

x+1

2x+1

=

1

2

+

1

2(2x+1)

在[0，1]上單調遞減，
所以y=ln

x+1

2x+1

在x∈[0，1]上單調遞減，
所以y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])在x=0處取得最大值0，
于是得到-m²-3m+4≥0即：m²+3m-4≤0，
解得：-4≤m≤1
∴m的取值范圍是：[-4，1]．

點評：本題考查利用導數研究函數的性質，如單調性與函數的最值，以及不等式的恒成立問題與最值問題的相互轉化，解題時要認真審題，仔細解答．