Question

【題目】對于數列，如果存在正整數，使得對一切，都成立，則稱數列為等差數列．

（1）若數列為2-等差數列，且前四項分別為2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差數列，又是3-等差數列，證明：是等差數列．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據數列的遞推關系寫出第8項和第9項，即可得到答案；

（2）根據既是2-等差數列，得，則和均成等差數列，設等差數列公差分別為；因為是3-等差數列，所以，則成等差數列，設公差為；取數列中的特殊項可得，并設，從而得到，再根據的關系，將等差數列的通項寫成，即可證得結論.

（1）∵，，，，，

∴.

（2）若既是2-等差數列，即，則和均成等差數列，

設等差數列公差分別為，

∵是3-等差數列，∴，則成等差數列，設公差為，

既是中的項，也是中的項，

∴，

既是中的項，也是中的項，

∴.

設，則，

，

又，，

∴，

，

綜上所得，

為等差數列.