Question

【題目】若無窮數列滿足：是正實數，當時，，則稱是“—數列”.

（1）若是“—數列”且，寫出的所有可能值；

（2）設是“—數列”，證明：是等差數列當且僅當單調遞減；是等比數列當且僅當單調遞增；

（3）若是“—數列”且是周期數列（即存在正整數，使得對任意正整數，都有），求集合的元素個數的所有可能值的個數.

Answer 1

【答案】（1）-2，0，2，8（2）證明見解析（3）當時，有32種；當時，有31種.

【解析】

(1)根據“—數列”的定義逐項分析即可.

(2)分別根據等差等比數列的定義,分別證明對應的必要性和充分性即可.

(3)分別證明是數列中的最大項與當是奇數時,是的奇數倍；當是偶數時,是的偶數倍再根據周期的性質證明即可.

（1）解：由題,所有可能的情況有,,.

故的所有可能值為 -2,0,2,8.

（2）證明：因為,所以或.

當是等差數列時,假設,則,此時,,而,矛盾！所以.于是公差,所以單調遞減.

當單調遞減時,對任意,,又,所以,從而是等差數列.

當是等比數列時,,所以,于是公比.又,所以單調遞增.

當單調遞增時,對任意,.又,所以,即.因為,所以是等比數列.

（3）解：先證明是數列中的最大項.

事實上,如果是第一個大于的項的腳標,則由

知,是的倍數.假設,,…,都是的倍數,則由

知,也是的倍數.所以由歸納法知,對任意,都是的倍數,但不是的倍數,這與是周期數列矛盾！

所以是數列中的最大項,從而當時,.

再證明當是奇數時,是的奇數倍；當是偶數時,是的偶數倍.

事實上,當時結論成立.假設時成立,當時,由知,結論也成立.

設的最小正周期是,因為,所以是偶數.

反過來,當是偶數時,我們證明存在一個以為最小正周期的“一數列”.

事實上,令,,…,,,,…,,,之后再以為周期循環即可.

當以為最小正周期時,集合的元素個數為,其中表示不超過的最大整數.因此所求即為,,…,中不同項的個數.

當時,,所以從到0中的所有整數值都能取到,有32種.

當時,,所以,,…,兩兩不同,有31種.