Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面底面，四邊形是邊長為2的菱形，，，，E，F分別為AC，的中點．

（1）求證：直線EF∥平面；

（2）設分別在側棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（或者）

【解析】

（1）取A1C1的中點G，連接EG，FG，證明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理證明EG∥平面ABB1A1，從而平面EFG∥平面然后證明直線EF∥平面ABB1A1；

（2）證明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱錐B﹣APQC的體積，棱柱ABC﹣A1B1C1的體積，即可得到面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比．

（1）取的中點G，連接EG，FG，

由于E，F分別為AC，的中點，

所以FG∥．又平面，平面，

所以FG∥平面．

又AE∥且AE＝，

所以四邊形是平行四邊形．

則∥．又平面，平面，

所以EG∥平面．

所以平面EFG∥平面．又平面，

所以直線EF∥平面．

（2）四邊形APQC是梯形，

其面積 ．

由于，E分別為AC的中點.

所以．

因為側面底面，

所以平面．

即BE是四棱錐的高，可得．

所以四棱錐的體積為．

棱柱的體積．

所以平面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比為（或者）．