【題目】在斜三棱柱
中，
為等腰直角三角形，
，平面
⊥平面
，點
為棱
的中點，
.
（1）證明：平面
平面
.
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）證明
平面
，平面
平面即得證；
（2）由于
，
，
兩兩垂直，以
為坐標原點，
，
，
分別為
，
，
軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
，再利用向量法求出二面角
的余弦值.
（1）證明：分別取
，
的中點和
，連接，
，
，
.
因為
，為的中點，所以
，
因為平面
平面
，且平面
平面
.
所以
平面，
因為是的中點.
所以
，且
，
因為點
為棱
的中點所以
，且
，
所以
，且
，所以四邊形
是平行四邊形，則
.
因為平面，所以平面，
因為
平面
，所以平面平面.
（2）由題意得
，則
平面，故，，兩兩垂直.
以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
故
，
，
，
設平面的法向量為
，
則
，令
，得
.
設平面
的法向量為
，
則
令
，得
，
則
，
由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，點F為棱PD的中點．
（1）在棱BC上是否存在一點E，使得CF∥平面PAE，并說明理由；
（2）若AC⊥PB，二面角D﹣FC﹣B的余弦值為
時，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】政府工作報告指出，2019年我國深入實施創新驅動發展戰略，創新能力和效率進一步提升；2020年要提升科技支撐能力，健全以企業為主體的產學研一體化創新機制，某企業為了提升行業核心競爭力，逐漸加大了科技投入；該企業連續5年來的科技投入x（百萬元）與收益y（百萬元）的數據統計如下：
科技投入x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收益y | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 |
（1）請根據表中數據，建立y關于x的線性回歸方程；
（2）按照（1）中模型，已知科技投入8百萬元時收益為140百萬元，求殘差
（殘差
真實值－預報值）.
參考數據：回歸直線方程
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在①
；②
；③
，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.
在△
中，內角A，B，C所對的邊分別為
.且滿足_________.
（1）求
；
（2）已知
，△的外接圓半徑為
，求△的邊AB上的高
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】質量是企業的生命線，某企業在一個批次產品中隨機抽檢
件，并按質量指標值進行統計分析，得到表格如表：
質量指標值 | 等級 | 頻數 | 頻率 |
| 三等品 | 10 | 0.1 |
| 二等品 | 30 |
|
| 一等品 |
| 0.4 |
| 特等品 | 20 | 0.2 |
合計 |
| 1 | |
（1）求
，
，；
（2）從質量指標值在
的產品中，按照等級分層抽樣抽取6件，再從這6件中隨機抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在實常數
和
，使得函數
和
對其公共定義域上的任意實數x都滿足：
和
恒成立，則稱此直線
為和的“隔離直線”，已知函數
，
，
（
為自然對數的底數），則（ ）
A.
在
內單調遞增；
B.
和
之間存在“隔離直線”，且的最小值為
；
C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是
；
D.和
之間存在唯一的“隔離直線”
.
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