Question

已知函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=

3

f（

3

），b=f（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

），則a，b，c的大小關系是 （　　）

• A、c＞a＞b
• B、c＞b＞a
• C、a＞b＞c
• D、a＞c＞b

Answer 1

考點：函數的單調性與導數的關系,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：根據條件構造函數，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：∵函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，
∴當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（x）等價為xf′（x）+f（x）＜0，
構造函數g（x）=xf（x），
則g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴當x∈（-∞，0）時，函數g（x）單調遞減，
且函數g（x）是偶函數，
∴當x∈（0，+∞）時，函數g（x）單調遞增，
則a=

3

f（

3

）=g（

3

），b=f（1）=g（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

）=g（log₂

1

4

）=g（-2）=g（2），
∵1＜

3

＜2，
∴g（1）＜g（

3

）＜g（2），
即b＜a＜c，
故選：A．

點評：本題主要考查函數值的大小比較，根據函數的奇偶性構造函數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．