Question

設

a

=（1，2），

b

=（1，1）且

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A、（-

  5

  3

  ，0）∪（0，+∞）
• B、（-

  5

  3

  ，+∞）
• C、[-

  5

  3

  ，0）∪（0，+∞）
• D、（-

  5

  3

  ，0）

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：若設θ為

a

與

a

+λ

b

的夾角，θ為銳角⇒cosθ＞0，且cosθ≠1，根據條件及兩向量夾角的余弦公式即可求得λ的取值范圍，并且在求|

a

+λ

b

|時，先求它的平方．

解答： 解：

a

•(

a

+λ

b

)=（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，(

a

+λ

b

)2=

a

2+2λ

a

•

b

+λ2

b

2=5+6λ+2λ²，|

a

|=

5

；
∴設

a

與

a

+λ

b

的夾角為θ且θ為銳角，則：
cosθ=

a •( a +λ b )

| a || a +λ b |

=

3λ+5

5 2λ2+6λ+5

＞0，且

3λ+5

5 2λ2+6λ+5

≠1
∴解得：λ＞-

5

3

，且λ≠0．
∴實數λ的取值范圍是(-

5

3

，0)∪(0，+∞)．
故選A．

點評：本題考查的知識點為：向量數量積的坐標運算，由坐標求模，向量夾角的余弦公式，不要漏了cosθ≠1的情況．