Question

【題目】已知函數（其中是實數）．

（1）求的單調區間；

（2）若設，且有兩個極值點，（），求取值范圍．（其中為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間，當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出的定義域為，，由此利用導數性質和分類討論思想能求出的單調區間；（2）推導出，令，則恒成立，由此能求出的取值范圍．

試題解析：（1）的定義域為，，

令，，對稱軸，，

（1）當，即時，

于是，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間．

（2）當，即或時，①若，則恒成立

于是，的單調遞增區間為，無減區間．②若

令，得，，

當時，，當時，．

于是，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．綜上所述：

當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間．

當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．

（2）由（1）知，若有兩個極值點，則，且，，

又，，，，又，解得，于是，

令（），則恒成立，在單調遞減，，即，故的取值范圍為