Question

【題目】已知直線上有一動點，過點作直線垂直于軸，動點在上，且滿足（為坐標原點），記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知定點，，為曲線上一點，直線交曲線于另一點，且點在線段上，直線交曲線于另一點，求的內切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1 )設點的坐標為 ，結合題意得出點的坐標，再利用可得出點的軌跡方程；(2)設 ，設直線的方程為 ，將該直線方程與曲線的方程聯立，結合韋達定理進行計算得出點，和點的橫坐標相等,于是得出軸，根據幾何性質得出的內切圓圓心在軸上，且該點與切點的連線與垂直，計算出的面積和周長，利用等面積法可得出其內切圓的半徑的表達式，通過化簡得到關于的函數表達式，并換元，將函數關系式轉化為關于的函數關系式，然后利用單調性可求出的取值范圍.

（1）設點，則，

所以，.

因為，

所以，即.

（2）設，，，直線與軸交點為，直線與內切圓的切點為.

設直線的方程為，則聯立方程組得，

所以且，所以，

所以直線的方程為，

與方程聯立得，

化簡得，解得或.

因為，

所以軸，

設的內切圓圓心為，則點在軸上且.

，且的周長，

，

，

令，則，

所以在區間上單調遞增，則，

即的取值范圍為.