Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數），.

（1）若，求的極值；

（2）對任意都有成立，求實數的取值范圍.

（3）對任意證明：；

Answer 1

【答案】（1）極小值1，無極大值；（2）（3）見解析

【解析】

（1）設，對其求導令，從而得出其導函數取得正負的區間，得出函數的單調性，從而求得的極值；

（2）令，求導，令解得討論實數的范圍和分別驗證不等式是否恒成立，可得出的取值范圍.

（3）令，求導得時,單調遞增；；有，代換可得證.

（1）設，令，

所以當，，當，，

所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，

從而當時，取得的極小值，無極大值；

（2），，令解得

（i）當時，，所以對所有，；在上是增函數.

所以有，即當時，對于所有，都有.

（ii）當時，對于，所以在上是減函數，

從而對于有，即，所以當時，不是對所有的都有成立.

綜上，的取值范圍是；

（3）證明：令，，當，，

所以當時,單調遞增；；

所以，，

，

所以.