Question

正項數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，又數列{

anan+1

}是以

2

2

為公比的等比數列，則使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280成立的最大整數n為

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：確定數列{a_2n-1}是以a₁=1為首項，2^-1為公比的等比數列，數列{a_2n}是以a₂=2為首項，2^-1為公比的等比數列，再利用等比數列的求和公式，即可求得結論．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，∴

a1a2

=

2

．
又{

anan+1

}是以

2

2

為公比的等比數列，
∴

anan+1

=21-

n

2

．
∴a_na_n+1=2^2-n，∴

an+1an+2

anan+1

=2^-1=

an+2

an

．
∴數列{a_2n-1}是以a₁=1為首項，2^-1為公比的等比數列，∴a_2n-1=2^1-n．∴

1

a2n-1

=2^n-1．
數列{a_2n}是以a₂=2為首項，2^-1為公比的等比數列，∴a_2n=2^2-n．∴

1

a2n

=2^n-2．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

=（2⁰+2+2²+…+2ⁿ）+（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）
=2ⁿ⁺¹-1+

1

2

（2ⁿ-1）=5•2^n-1-

3

2

不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280，化為5•2^n-1-

3

2

＜1280，
∵2⁹=502，2⁸=256．
∴n-1＜9，解得n＜10．
因此使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280成立的最大整數n為9．
故答案為：9．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、分奇數和偶數項分別為等比數列的數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．