Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣2|．
（1）作出函數f（x）=x|x﹣2|的大致圖象；
（2）若方程f（x）﹣k=0有三個解，求實數k的取值范圍．
（3）若x∈（0，m]（m＞0），求函數y=f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x|x﹣2|= ，

由分段函數的畫法，可得如圖

（2）解：若方程f（x）﹣k=0有三個解，即函數f（x）圖象與直線y=k有三個交點，

由圖可得，當0＜k＜1時，有三個交點，即方程f（x）﹣k=0有三個解

（3）解：當0＜m≤1時，f（x）在（0，m]遞增，f（m）取得最大值，且為2m﹣m2；

由x2﹣2x=1，解得x=1+ （1﹣ 舍去），

當1＜m≤1+ 時，由f（x）的圖象可得f（1）取得最大值1；

當m＞1+ 時，由f（x）的圖象可得f（m）取得最大值m2﹣2m．

綜上可得，當0＜m≤1時，f（x）的最大值為2m﹣m2；

當1＜m≤1+ 時，f（x）的最大值為1；

當m＞1+ 時，f（x）的最大值為m2﹣2m．

【解析】（1）寫出f（x）的分段形式，畫出圖象；（2）由題意可得，函數f（x）圖象與直線y=k有三個交點，通過平移直線y=k，即可得到k 范圍；（3）對m討論，分當0＜m≤1時，當1＜m≤1+ 時，當m＞1+ 時，三種情況，通過圖象和單調性，即可得到最大值．