Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）當時，求函數切線斜率中的最大值；

（Ⅱ）若關于的方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，切線斜率的最大值即的最大值，對函數進行求導，通過配方法可求其最大值；（Ⅱ）令，則問題等價于函數存在零點，根據函數的單調性解出即可；

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為.

當時， ，

所以函數切線斜率的最大值為1.

（Ⅱ）因為關于的方程有解，

令，則問題等價于函數存在零點，

所以.

當時， 對成立，

函數在上單調遞減.

而， ，

所以函數存在零點.

當時，令，得.

， 隨的變化情況如下表：

所以為函數的最小值，

當時，即時，函數沒有零點，

當時，即時，注意到，

所以函數存在零點.

綜上，當或時，關于的方程有解.