Question

【題目】函數.

(1)討論函數的單調性;

(2)當時,方程在區間內有唯一實數解,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) 或.

【解析】試題分析：

(1)求導,分類討論得f(x)的單調區間即可；

(2)問題轉化為有唯一實數解；構造函數,求導得或.

試題解析：

(1) ,

(i)當時, ,令,得,令,得,

函數f(x)在上單調遞增, 上單調遞減;

(ⅱ)當時,令,得

令,得,令,得,

函數f(x)在和上單調遞增, 上單調遞減;

(ⅲ)當時, ,函數f(x)在上單調遞增;

(ⅳ)當時,

令,得,令,得,

函數f(x)在和上單調遞增, 上單調遞減;

綜上所述:當時,函數f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為;

當時,函數f(x)的單調遞增區間為和,單調遞減區間為;

當時,函數f(x)的單調遞增區間為;

當時,函數f(x)的單調遞增區間為和,單調遞減區間為

(2)當時, ,由,得,又,所以,

要使方程在區間上有唯一實數解,只需有唯一實數解；

令,∴,

由得得,

∴在區間上是增函數,在區間上是減函數.

,

故或