Question

【題目】如圖，三棱錐中，.

（1）求證：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取AC的中點O，連結BO，DO，推導出AC⊥DO，AC⊥BO，從而AC⊥平面BOD，由此能證明BD⊥AC．

（2）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

證明：（1）取AC的中點O，連結BO，DO，

∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均為等腰三角形，

∴AC⊥DO，AC⊥BO，

∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，

∵BD平面BOD，∴BD⊥AC．

解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，

∴OD＝OB＝，

∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，

∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，

如圖，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，

建立空間直角坐標系O﹣xyz，

設A（0，﹣1，0），則C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），

∴＝（﹣，1，0），＝ ，＝（0，1，），

設平面ABD的法向量＝（x，y，z），

則，取x＝1，得＝（1，﹣，1），

設直線BC與平面ABD所成角為θ．

則直線BC與平面ABD所成角的正弦值為：

sinθ＝.