Question

【題目】已知數列的首項為，設其前n項和為，且對有，．

（1）設，求證：數列為等差數列；

（2）求數列的通項公式;

（3）是否存在正整數m，k，使得，，成等差數列？若存在，求出m，k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（2）存在，，或，

【解析】

（1）根據與的關系可得，由遞推關系知為等差數列，即可求出通項公式（2）由（1）知，可得，根據累乘法即可求出（3）由裂項相消法求出，假設存在正整數m，k，使，，成等差數列，根據等差中項化簡計算可得，存在正整數m，k使，，成等差數列.

（1）因為①，，

所以時，，得．

當時，②，

①-②得，

因為，所以．

當時，有．

所以數列為等差數列．

（2）因為，公差，得．

所以，得．

所以,

得，即．

（3）

．

因為，，成等差數列，所以，即，

化簡得．

因為，所以時，，（舍去）；時，，；

時，，．

綜上，存在，或，．