Question

【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱的側面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與重合的一個點．

（1）若圓柱的軸截面是正方形，當點是弧的中點時，求異面直線與的所成角的大小；

（2）當點是弧的中點時，求四棱錐與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接，則，（或其補角）為異面直線與的所成角，利用余弦定理可求異面直線與的所成角的大小.

（2）設圓柱的底面半徑為，母線長度為，當點是弧的中點時，可證明平面，從而可得四棱錐的體積，最后求出圓柱的體積即得四棱錐與圓柱的體積比．

（1）如圖，取的中點，連接，

則，（或其補角）為異面直線與的所成角.

設正方形的邊長為，

則中，，，，

.

因為，.

（2）設圓柱的底面半徑為，母線長度為，

當點是弧的中點時，且，

因為三棱柱的側面是圓柱的軸截面，平面.

所以三棱柱為直三棱柱，所以平面.

因為平面，所以，

因為，所以平面.

由三棱柱可得，故平面，

故，，

．