【題目】已知數(shù)列
滿足
，且
.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為
，求證：當(dāng)
時(shí)，
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
(1)法一：計(jì)算出數(shù)列前4項(xiàng)，猜想：，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；法二：所給等式化簡(jiǎn)為
所以
是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，求出通項(xiàng)公式即可得解；(2) 先證明
時(shí)，
，
，再證明
，即可得證.
解：（1）法一：
，且
，
同樣可求得
，
猜想：，
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)
時(shí)，
，符合，
②假設(shè)
時(shí)，
，
則
時(shí)，
，即
，
符合，
綜上：.
法二：由
得
，
，
即
，
是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，
則.
（2）當(dāng)
時(shí)，
，
法一：先證明時(shí)，，
令
，則
，
為減函數(shù)，
則
時(shí)，.
時(shí)，
，
又
即
，
時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
.
法二：
，
要證明
，
即證
，
設(shè)
，
則
，
由
得：
當(dāng)
時(shí)，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，.
法三：由法二知即證
，
設(shè)
當(dāng)
時(shí)，
成立，
當(dāng)
時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，若同時(shí)滿足以下條件：
①
在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；
②存在區(qū)間
，使在
上的值域是，那么稱
為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)
符合條件②的區(qū)間 ；
（2）判斷函數(shù)
是不是閉函數(shù)？若是請(qǐng)找出區(qū)間；若不是請(qǐng)說明理由；
（3）若
是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】王老師是高三的班主任，為了在寒假更好的督促班上的學(xué)生完成學(xué)習(xí)作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)QQ群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成.已知該QQ群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為（ ）
A.20B.22C.26D.28
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)
，其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，判斷
有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖是一個(gè)半徑為1千米的扇形景點(diǎn)的平面示意圖，
.原有觀光道路OC，且
.為便于游客觀賞，景點(diǎn)管理部門決定新建兩條道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端點(diǎn)O、C）上，Q在景點(diǎn)邊界OB上，且
，同時(shí)維修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米費(fèi)用分別是
萬(wàn)元、
萬(wàn)元，維修OP段的每千米費(fèi)用是
萬(wàn)元.
（1）設(shè)
，求所需總費(fèi)用
，并給出
的取值范圍；
（2）當(dāng)P距離O處多遠(yuǎn)時(shí)，總費(fèi)用最小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
，
為其前
項(xiàng)的和，滿足
.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：當(dāng)
，
時(shí)
；
（3）已知當(dāng)，且
時(shí)有
，其中
，求滿足
的所有的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)
，
與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，且直線
與圓
相切.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知過橢圓
的左頂點(diǎn)
的兩條直線
，
分別交橢圓于
，
兩點(diǎn)，且
，求證：直線
過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項(xiàng)目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費(fèi)金額，健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2019年7、8兩月100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：
，
，
，…，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2020年7、8兩月健身客戶人均消費(fèi)的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）若把2019年7、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“健身達(dá)人”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有
的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)？
健身達(dá)人 | 非健身達(dá)人 | 總計(jì) | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
總計(jì) |
（3）為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特別推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為
，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折.
若某人打算購(gòu)買1000元的營(yíng)養(yǎng)品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=xv（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）．
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