Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）證明見(jiàn)；解析；定點(diǎn)；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓相切得圓心到直線距離等于半徑列一個(gè)方程，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，解方程組得 ，即得結(jié)果；

（2）先設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立分別解得M,N坐標(biāo)，再求斜率（注意討論），利用點(diǎn)斜式得直線方程，即得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得，再根據(jù)三角形面積公式得面積的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最大值.

（1）由題意可得：，，

橢圓的方程為：.

（2）由題意知，設(shè)：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），，

，同理可得：.

i：當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，

，

，直線過(guò)定點(diǎn).

ii：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，直線方程為：，也過(guò)定點(diǎn)，

綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).

（3）設(shè)，由（2）知：

，

令，在單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，.