Question

【題目】已知平面直角坐標系中，曲線的方程為，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．若將曲線上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標伸長到原來的倍，得曲線．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點， 直線與曲線的兩個交點分別為，，求的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）轉化直線的極坐標方程為，利用極坐標方程與直角坐標方程轉化公式得直線的直角坐標方程；設點在曲線上，點為坐標變換后點的對應點，由題意得，代入化簡即可得解；

（2）寫出直線的參數方程,(t為參數)，代入的直角坐標方程，由根與系數的關系可得，，轉化條件即可得解.

（1）直線的極坐標方程可化為，

直線的直角坐標方程為；

設點在曲線上，點為坐標變換后點的對應點，

則，，化簡得，

曲線的直角坐標方程為；

（2）由題意點在直線上，

則直線的參數方程為,(t為參數)，

將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程可得：，，

則，，

.