Question

【題目】如圖，三棱維中，平面平面，，，是棱的中點，點在棱上點是的重心．

（1）若是的中點，證明面；

（2）是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在點，使二面角的大小為，此時.

【解析】

（1）延長交于點，連接，證明平面平面，得到證明.

（2）證明平面，以為原點建立空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.

（1）延長交于點，連接，因為點是的重心，故為的中點，

因為，分別是棱，的中點，所以，，

又因為，所以平面平面，又平面，

所以平面．

（2）連接，因為，所以，又是的中點，

所以，

因為平面平面，而平面平面，平面，

所以平面，

如圖，以為原點，垂直于的直線為軸，，所在直線分別為軸，軸建空間直角坐標系，

設，則，，

所以，，，，，

假設存在點，設，，

則，

所以，又，

設平面的法向量為，則，

令，解得，

又平面，平面的法向量，

而二面角的大小為，所以，

即，解得，

所以存在點，使二面角的大小為，此時．