Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線上一點到焦點的距離為，若點為拋物線準線上的動點，給出以下命題：

①當為正三角形時，的值為；

②存在點，使得；

③若，則等于；

④的最小值為，則等于或.

其中正確的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

對于①可知，當為正三角形時與準線垂直，畫出圖形結合幾何關系即可求得的值；對于②根據向量關系可知，結合點的位置即可判斷；對于③，作出幾何圖形，根據線段比例關系即可求得的值；對于④，作關于準線的對稱點，連接交準線于，可知即為的最小值，根據線段幾何關系及最小值即可求得的值.

對于①，當為正三角形時，如下圖所示，

拋物線的準線交軸于，

,由拋物線定義可知，則與準線垂直，

所以，

則，所以,

而，即，所以①正確；

對于②，假設存在點，使得，即，

所以點為的中點，

由拋物線圖像與性質可知，為拋物線上一點，為焦點，線段在軸右側，

點在拋物線準線上，在軸左側，因而不可能為的中點，所以②錯誤；

對于③，若，則，作垂直于準線并交于，準線交軸于，如下圖所示：

由拋物線定義可知，

根據相似三角形中對應線段成比例可知，即，

解得，所以③正確；

對于④，作關于準線的對稱點，連接交準線于，作垂直于準線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：

根據對稱性可知，此時即為的最小值，

由拋物線定義可知，所以的橫坐標為，

代入拋物線可知，

的最小值為，，

則，即，

化簡可得，即，

解得或，所以④正確；

綜上所述，正確的為①③④.

故選：A.