Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C．

（1）證明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，BC=2，求B1到平面ABC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結BC1，則BC1與B1C交于O，

∵側面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BC1，

∵AO⊥平面BB1C1C，∴B1C⊥AO

又∵BC1∩AO=O，

∴B1C⊥平面ABO，

由于AB平面ABO，∴B1C⊥AB

（2）解：設點B1 到平面ABC 的距離為h，

∵側面BB1C1C為菱形，∠CBB1=60°，BC=2，

∴△CBB1為等邊三角形，

∴BC=BB1=B1C=2，BO=

∵AC⊥AB1，∴ ，

Rt△AOB中，AB= =2

∴S△ABC= = ，

∵ = ，

∴ ，

∴h= ．

∴點B1 到平面ABC 的距離為

【解析】（1）要證B1C⊥AB，即證B1C⊥平面ABC1 ， 由菱形的對角線垂直和線面垂直的性質，即可得證；（2）由棱錐的體積公式，利用 = ，即可得到B1到平面ABC的距離．