Question

【題目】如圖，內接于圓的正方形邊長為1，圓內切于正方形，正方形內接于圓，···，正方形內接于圓，圓內切于正方形，正方形內接于圓，由此無窮個步驟進行下去記圓的面積記作，記正方形的面積記作．

（1）求的值

（2）記的所有項和為，的所有項和為，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）．

【解析】

（1）求出圓、的半徑和正方形、的邊長后可求的值．

（2）數列、都是無窮遞縮等比數列，利用無窮遞縮等比數列的和的計算公式可求，從而得到的值．

（1）圓的半徑為1，故．

正方形為圓的內接正方形，故其邊長為，其面積．

圓為正方形的內切圓，故其半徑為，故．

正方形為圓的內接正方形，故其邊長為，其面積．

綜上，，，，．

（2）設圓的半徑為，

因正方形內接于圓，故正方形的邊長為，

而內切于正方形，故圓的半徑為，

正方形內接于圓，

故正方形的邊長為，

所以，，

所以數列是首項為，公比為的無窮遞縮等比數列，

是首項為，公比為的無窮遞縮等比數列，

所以,，所以．