Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點P為直線l：上且不在x軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為A、B和C、D、O為坐標原點.

（1）求的周長；

（2）設直線的斜線分別為，證明：；

（3）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）根據橢圓定義可知所求三角形周長為，結合橢圓方程可得到結果；

（2）由橢圓方程可知焦點坐標，設，利用兩點連線斜率公式表示出，代入整理可得結論；

（3）假設存在點滿足題意，假設直線：，與橢圓方程聯立，利用韋達定理的表示出，同理可得，由可得到關于的方程；根據（2）中結論知，聯立求得，進而得到兩直線方程，兩直線方程聯立可求得滿足題意的點坐標.

（1）由橢圓定義知：

的周長為：

（2）由題意得：，，設

，

（3）假設存在點，使得

設，，，

設直線：；直線：

聯立得： ，

同理可得：

…①

由（2）知，…②

①②聯立可解得：或

或 或

存在點或，使得