Question

【題目】拋物線：過點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設為軸上一點，為拋物線上任意一點，求的最小值；

（3）過拋物線的焦點，作相互垂直的兩條弦和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為（3）32

【解析】

（1）將點代入拋物線方程，解出，即可求出；

（2）設出點，根據距離公式表示出，再根據二次函數知識即可求出；

（3）由題可知兩直線斜率都存在，所以設：，：，將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求出，，根據弦長公式即可求出和的長，然后根據基本不等式即可求出．

（1）將點代入拋物線方程，得，解得，

所以拋物線的方程為：．

（2）設點，則，．

所以．

設，對稱軸為，

當即時，在上單調遞增，所以，即的最小值為；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，的最小值為．

綜上，當時，的最小值為；當時，的最小值為．

（3）由題可知兩直線斜率都存在，設，，

：，：，

由，化簡得，，所以，

同理可得，，即，，

故．

即的最小值為32．