【題目】記無窮數(shù)列
的前
項(xiàng)中最大值為
，最小值為
，令
．
（1）若
，寫出
，
，
，
的值；
（2）設(shè)
，若
，求
的值及
時(shí)數(shù)列
的前項(xiàng)和
；
（3）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”．
【答案】（1）
，（2）見解析（3）見解析
【解析】
（1）分別計(jì)算出
，
，
，
結(jié)合題意即可得b1，b2，b3，b4的值；
（2）由新定義，可得λ＞0，考慮三種情況求得λ，檢驗(yàn)可得所求λ；進(jìn)而得到bn，由數(shù)列的分組求和，可得所求和；
（3）充分性易證，無論d為何值，始終有bn
，即可證得結(jié)果，必要性須分類證明．
解：（1） 因?yàn)?/span>
，所以
，
所以，
（2）
，
當(dāng)
時(shí)，
，無解；
當(dāng)
時(shí)，
，無解；
當(dāng)
時(shí)，
,解得
；
當(dāng)
時(shí)，
無解，
此時(shí)
，
當(dāng)
時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)
遞增，
，
所以當(dāng)時(shí)，
（3）必要性：數(shù)列
是等差數(shù)列，設(shè)其公差為
.
當(dāng)
時(shí)是遞增數(shù)列；當(dāng)
時(shí)是常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列；
都有
，
所以數(shù)列
是等差數(shù)列.
充分性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為
則
，
由題意知，
，
當(dāng)
時(shí)，
對(duì)任意
都成立，
即
，所以是遞增數(shù)列，
，
所以是公差為
的等差數(shù)列，
當(dāng)
時(shí)，
，進(jìn)而
所以是遞減數(shù)列，
，
，
所以是公差為的等差數(shù)列
當(dāng)
時(shí)，
，
因?yàn)?/span>
與
中至少有一個(gè)為
，所以二者都為，
進(jìn)而得為常數(shù)列，
綜上，充分性成立.
天天向上一本好卷系列答案
小學(xué)生10分鐘應(yīng)用題系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；
（2）若曲線
與曲線，在第一象限分別交于
兩點(diǎn)，且
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】拋物線
：
過點(diǎn)
.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)
為
軸上一點(diǎn)，
為拋物線上任意一點(diǎn)，求
的最小值；
（3）過拋物線的焦點(diǎn)
，作相互垂直的兩條弦
和
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】過雙曲線
的右焦點(diǎn)且垂直于
軸的直線與雙曲線交于
兩點(diǎn)，
為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且
為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為__________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為
，且經(jīng)過點(diǎn)
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若橢圓
的下頂點(diǎn)為
，如圖所示，點(diǎn)
為直線
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓
的右焦點(diǎn)
的直線
垂直于
，且與
交于
兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)
，四邊形
和
的面積分別為
．求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，四棱錐
中，底面
為正方形， 
平面
， 
，點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn).
(1)求證： 
；
(2)求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
是圓
上的任意一點(diǎn)，
是過點(diǎn)且與
軸垂直的直線，
是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)
在直線上，且滿足
.當(dāng)點(diǎn)在圓
上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點(diǎn)
，過
的直線
交曲線于
兩點(diǎn)，交直線
于點(diǎn)
.判定直線
的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，且橢圓過點(diǎn)
.
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線
與交于
，
兩點(diǎn)，點(diǎn)
在上，
是坐標(biāo)原點(diǎn)，若
，判斷四邊形
的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，
，AB的長(zhǎng)為2百米，BC的長(zhǎng)為1百米.
（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得
，
，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；
（2）若準(zhǔn)備建造一個(gè)荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記
，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)
的值.（精確到1米和0.1度）
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