Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在與橢圓交于兩點的直線，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件推導出，，由此能求出橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓方程聯立方程，得到關于的一元二次方程，由根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出實數的取值范圍．

試題解析：（1）設橢圓的方程為，半焦距為．依題意，

由右焦點到右頂點的距離為，得解得．所以，所以橢圓的標準方程是．

（2）解：存在直線，使得成立．理由如下：

由得．

，化簡得．

設，則．

若，所以，，

，，

化簡得，，將代入中，，

解得．又由，，

從而，或，所以實數的取值范圍是．