Question

【題目】設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記.

（1）求數列與數列的通項公式；

（2）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數，都有；

（3）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立?若存在，找出一個正整數;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）利用可得數列是等比數列，根據等比數列的通項公式可得，進而可得；

（2）通過放縮可得，再按照和兩種情況分別證明即可；

（3）通過放縮得到，再分為奇數和為偶數兩種情況討論即可得到答案.

（1）令，得，得，

因為，所以，

所以，

所以，

因為，所以，

所以數列是首項為，公比為的等比數列，

所以,.

（2）由得

，

又，

當時，，所以，

當時，

，

∴對任意正整數都有.

（3），，

，

當為偶數時，，

當為奇數時，，

所以存在正整數，使得成立.