Question

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體DABC，如圖②所示．

(1)證明：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求二面角DABC的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）利用面面垂直性質定理可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC，又AD⊥CD，從而得到AD⊥平面BCD，顯然平面ABD⊥平面BCD；

（2）以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，求出平面ABD與平面ABC的法向量，代入公式，即可求出二面角DABC的余弦值．

試題解析：

(1)證明：易知AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，

∴BC⊥平面ACD，∴AD⊥BC.

又AD⊥CD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD，

∵AD平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCD.

(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則C(0，0,0)，A(2，0,0)，D(，0，)，B(0,2，0)，＝(－，0，)，＝(－2，2，0)．

設平面ABD的法向量m＝(x，y，z)．

則即

令x＝1，得y＝1，z＝1，

所以平面ABD的一個法向量m＝(1,1,1)．

易知平面ABC的一個法向量n＝(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉＝＝，

由圖知，二面角DABC為銳角，

∴二面角DABC的余弦值為.