Question

【題目】已知函數 .
（I）若曲線 存在斜率為-1的切線，求實數a的取值范圍；
（II）求 的單調區間；
（III）設函數 ，求證：當 時， 在 上存在極小值.

Answer 1

【答案】解：（I）由 得 .
由已知曲線 存在斜率為-1的切線，所以 存在大于零的實數根，
即 存在大于零的實數根，因為 在 時單調遞增，
所以實數a的取值范圍 .
（II）由 可得
當 時， ，所以函數 的增區間為 ；
當 時，若 ， ，若 ， ，
所以此時函數 的增區間為 ，減區間為 .
（III）由 及題設得 ，
由 可得 ，由（II）可知函數 在 上遞增，
所以 ，取 ，顯然 ，
，所以存在 滿足 ，即存在 滿足 ，所以 ， 在區間（1，+∞）上的情況如下：

	－	0	+
	↘	極小	↗

所以當-1<a<0時，g（x）在（1，+∞）上存在極小值.
【解析】（1）由已知曲線 y = f ( x ) 存在斜率為-1的切線，等價于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的實數根,結合二次方程實根的分布求a的范圍;
(2)先對函數求導,對參數a的取值分類討論得到函數的單調區間;
(3)要證g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在極小值,則g'(x)在對應區間中有異號零點,根據(2)的結論求得a的范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．