Question

已知數列a_n的首項a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n?N₊，n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n-n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據條件構造一個等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出數列{na_n-n}的通項公式，利用錯位相減法即可求出前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
即{a_n-1}是以a₁-1=2-1=1，為首項，公比q=2的等比數列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=1+2^n-1．；
（2）∵a_n=1+2^n-1．，
∴na_n-n=n（1+2^n-1）-n=n•2^n-1，
數列{na_n-n}的前n項和S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②，
①-②得，-S_n=1•2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-n•2ⁿ-1=（1-n）•2ⁿ-1，
即S_n=（n+1）•2ⁿ+1．

點評：本題主要考查數列的通項公式以及數列求和問題，利用構造法構造一個等比數列是解決本題的關鍵，要求熟練掌握錯位相減法求和．