Question

【題目】若定義在D上的函數(shù)滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù)，．

求函數(shù)在上的值域，判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，并說明理由；

若函數(shù)在上是以3為上界的函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的值域結(jié)合有界函數(shù)的定義進行判斷即可．

（2）若函數(shù)在上是以為上界的函數(shù)得，利用絕對值的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可求得，就分類討論可得的取值范圍．

（1）．

則，

設(shè)函數(shù)，則．

當時，，為減函數(shù)；

當時，，為增函數(shù)；

故當時，，當且僅當時，，

從而，當且僅當時，，

所以在上單調(diào)遞增，

又，，

故在上的值域為，故，

故在上是有界函數(shù)．

（2）由，得在上恒成立．

故在上恒成立①，

由（1）可知 在上單調(diào)遞增，且．

當時，有，

則有，解得．

當時，有

若，則，所以；

若，則，所以．

綜上，實數(shù)的取值范圍是 ．