Question

設函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在點（a，f（a））處的切線與直線x-y=0平行，求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）的圖象在點（a，f（a））處的切線與直線x-y=0平行，建立方程，即可求實數a的值；
（Ⅱ）求導數，令導數為0，進而比較兩根的大小，確定導數的正負，即可求函數f（x）的極值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是{x|x＞0}．…（1分）
對f（x）求導數，得f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

．…（3分）
由題意，得a＞0，且f′（a）=1，
解得a=2．…（5分）
（Ⅱ）由f′（x）=0，得方程2x²-（a+2）x+a=0，
一元二次方程2x²-（a+2）x+a=0存在兩解x₁=1，x2=

a

2

，…（6分）
當x₂≤0時，即當a≤0時，隨著x的變化，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

即函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
所以函數f（x）在x=1存在極小值f（1）=-a-1；          …（8分）
當0＜x₂＜1時，即當0＜a＜2時，隨著x的變化，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

即函數f（x）在(0，

a

2

)，（1，+∞）上單調遞增，在(

a

2

，1)上單調遞減．
所以函數f（x）在x=1存在極小值f（1）=-a-1，在x=

a

2

存在極大值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；…（10分）
當x₂=1時，即當a=2時，
因為f′(x)=

2(x-1)2

x

≥0（當且僅當x=1時等號成立），
所以f（x）在（0，+∞）上為增函數，故不存在極值；           …（12分）
當x₂＞1時，即當a＞2時，隨著x的變化，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	(1， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

即函數f（x）在（0，1），(

a

2

，+∞)上單調遞增，在(1，

a

2

)上單調遞減．
所以函數f（x）在x=1存在極大值f（1）=-a-1，在x=

a

2

存在極小值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；
綜上，當a≤0時，函數f（x）存在極小值f（1）=-a-1，不存在極大值；
當0＜a＜2時，函數f（x）存在極小值f（1）=-a-1，存在極大值 f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；
當a=2時，函數f（x）不存在極值；
當a＞2時，函數f（x）存在極大值f（1）=-a-1，存在極小值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

．…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．