Question

【題目】已知函數(a＞0，且a≠1)在R上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

Answer 1

【答案】C

【解析】當時，f(x)單調遞減，必須滿足≥0，故0＜a≤，此時函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，若f(x)在R上單調遞減，還需，即，所以．

結合函數圖象，當x≥0時，函數y＝|f(x)|的圖象和直線y＝2x有且只有一個公共點，即當x≥0時，方程|f(x)|＝2x只有一個實數解．因此，只需當x＜0時，方程|f(x)|＝2x恰有一個實數解．

根據已知條件可得，當x＜0時，f(x)＞0，即只需方程f(x)＝2x恰有一個實數解，即，即在(∞，0)上恰有唯一的實數解，

判別式，

因為，所以．

當3a2＜0，即a＜時，方程有一個正實根、一個負實根，滿足要求；

當3a2＝0，即a＝時，方程的一個根為0，一個根為，滿足要求；

當3a2＞0，即＜a＜時，因為 (2a1)＜0，此時方程有兩個負實根，不滿足要求；

當a=時，方程有兩個相等的負實根，滿足要求．

綜上可知，實數a的取值范圍是．故選C．