Question

【題目】函數f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）當a=2時，求函數f（x）的定義域；
（2）是否存在實數a，使函數f（x）在[1，2]遞減，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=log2（3﹣2x）

∴3﹣2x＞0

解得

即函數f（x）的定義域（﹣ ）

（2）解：假設存在滿足條件的a，

∵a＞0且a≠1，令t=3﹣ax，則t=3﹣ax為單調遞減的函數

由復合函數的單調性可知，y=logat在定義域上單調遞增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立

∴a＞1且由題可得f（1）=1，3﹣2a＞0，

∴loga（3﹣a）=1，2a＜3

∴3﹣a=a，且a

故a的值不存在

【解析】（1）由題意可得，3﹣2x＞0，解不等式可求函數f（x）的定義域（2）假設存在滿足條件的a，由a＞0且a≠1可知函數t=3﹣ax為單調遞減的函數，則由復合函數的單調性可知，y=logat在定義域上單調遞增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，從而可求a的范圍