Question

對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意∈D，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？    并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式 對(duì)一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

Answer 1

（Ⅰ）是“平底型”函數(shù)，不是“平底型”函數(shù)

        （Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1

解析:

（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)或時(shí)，恒成立，故是“平底型”函數(shù)（2分）

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以不存在閉區(qū)間，使當(dāng)時(shí)，恒成立.

故不是“平底型”函數(shù).                           （4分）

（Ⅱ）若對(duì)一切R恒成立，則.

因?yàn)?img width=173 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/4/264204.gif" >，所以.又，則.（6分）

因?yàn)?img width=143 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/8/264208.gif" >，則，解得.

故實(shí)數(shù)的范圍是.                                （8分）

（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則

存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.   （10分）

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立.

此時(shí)，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).           （11分）

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).           （12分）

綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                       （13分）