Question

【題目】如圖，邊長為3的正方形所在的平面與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，設.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】分析：（1）過作交于，連接，，由幾何關系可證得四邊形為平行四邊形，結合線面平行的判定定理可得平面.

（2）以為原點，為軸正方向，建立空間直角坐標系，由題意可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，據此計算可得二面角的余弦值為.

詳解：（1）過作交于，連接，，因為，

，所以,

又，所以，故，

所以四邊形為平行四邊形，故，

而平面，平面，所以平面.

（2）以為原點，為軸正方向，建立空間直角坐標系，

則，

故，，

設平面的一個法向量為，則：

平面的一個法向量為，

又，，

設平面的一個法向量為，則：

平面的一個法向量為，

故，

從而求二面角的余弦值為.