Question

【題目】已知函數，為的導函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數在上存在最大值0，求函數在上的最大值；

（3）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） (3)見解析

【解析】分析：（1）對a分類討論，求函數的單調區間.(2)根據函數在上存在最大值0轉化得到a=1,再求函數在上的最大值.(3)先利用第2問轉化得到，再證明≤0.

詳解：（1）由題意可知， ，則，

當時，，∴在上單調遞增；

當時，解得時，，時，

∴在上單調遞增，在上單調遞減

綜上，當時，的單調遞增區間為，無遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由（1）可知，且在處取得最大值，

，即，

觀察可得當時，方程成立

令，

當時，，當時，

∴在上單調遞減，在單調遞增，

∴，

∴當且僅當時，，

所以，由題意可知，在上單調遞減，

所以在處取得最大值

（3）由（2）可知，若，當時，，即，

可得，

令，即證

令，

∵

∴，又，∴

∴，在上單調遞減，，

∴，當且僅當時等號成立

所以.