Question

【題目】如圖,三棱柱中,側面 側面,,,,為棱的中點,為的中點.

(1) 求證:平面；

(2) 若,求三棱柱的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）由△ACC1是等邊三角形可得AH⊥CC1，所以AH⊥AA1，利用面面垂直的性質得AH⊥平面ABB1A1，故AH⊥A1D，在矩形ABB1A1中，由AA1=AB可證A1D⊥AB1，從而A1D⊥平面AB1H．

（2）取中點,連結,則,所以面.利用求解即可．

詳解：(1)連結,因為為正三角形,為棱的中點,

所以,從而,又面 面,

面 面 ,面,

所以面,又面,所以 …①,

設,由,所以,,

,又,所以,

所以,又,

所以,

設,則…②,

由①②及,可得平面.

(2)方法一:取中點,連結,則,所以面.

所以,

所以三棱柱的體積為.

方法二:取中點,連結,因為為正三角形,所以,

因為面面,面 面 ,面,

,所以面,又面,所以,

又,所以平面,所以為三棱柱的高,

經計算,,

所以三棱柱的體積.