Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（其中為常數）.

（1）求曲線和的直角坐標方程；

（2）若曲線和有且僅有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據三角恒等變換，把函數關系式變形，再通過消元求出函數的普通方程，根據，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程；

（2）聯立方程進行化簡得到，作出的圖象，數形結合分析出與二次函數有一個交點時，的取值范圍.

（1）由，可知曲線的直角坐標方程為，

其中，所以曲線的直角坐標方程為，，

由，可得，由，，

曲線的直角坐標方程為；

（2）由，可知，

令，其圖象如下：

由曲線和有且僅有一個公共點，所以函數與的圖象有且僅有一個公共點，所以由圖象可知.