【題目】設函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
，
，求證：
.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；
當
時，在
上單調遞減；
當
時，在，
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）見解析
【解析】
（1）求出
，令
，
，討論
的取值，判斷
的符號，從而可求出的單調性.
（2）由（1）得時，有兩個極值點
，設，則有
且
，整理
，
，令
，
，利用導數研究函數
的單調性，可得
，進而可得證
解：（1）
，
令，，
①當
時，
在上單調遞減，
②當時，
，由
得
，
，
當
時
，當
時，
，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
③當時，
，
，∴在上單調遞減，
④當時，，由得
，
當或
時，，
當
時，，
∴在，上單調遞減，
在上單調遞增，
綜上所述，
當時，在上單調遞減，
在上單調遞增；
當時，在上單調遞減；
當時，在，上單調遞減，
在上單調遞增.
（2）由（1）得時，有兩個極值點，設，
則有且，
∴
，，
令，，
，
令
，則
，
∵，∴
，
，
，
∴當時，
，∴
在區間
單調遞增，
∴
，∴在區間單調遞減，
∴，
綜上，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數，
），以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的直角坐標方程及直線在軸正半軸及
軸正半軸截距相等時的直角坐標方程；
（2）若
，設直線與曲線交于不同的兩點
、
，點
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），若以該直角坐標系的原點為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
（其中
為常數）.
（1）求曲線和的直角坐標方程；
（2）若曲線和有且僅有一個公共點，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為
（t為參數），直線l2的參數方程為
.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．
（1）寫出C的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cosθ+sinθ) 
=0，M為l3與C的交點，求M的極徑.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設計師單獨設計出來的玩偶.由于盒子上沒有標注，購買者只有打開才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經濟”.某款盲盒內可能裝有某一套玩偶的
、
、
三種樣式，且每個盲盒只裝一個.
（1）若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學已經有了樣式的玩偶，若他再購買兩個這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？
（2）某銷售網點為調查該款盲盒的受歡迎程度，隨機發放了200份問卷，并全部收回.經統計，有
的人購買了該款盲盒，在這些購買者當中，女生占
；而在未購買者當中，男生女生各占
.請根據以上信息填寫下表，并分析是否有
的把握認為購買該款盲盒與性別有關？
女生 | 男生 | 總計 | |
購買 | |||
未購買 | |||
總計 |
參考公式：
，其中
.
span>參考數據：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（3）該銷售網點已經售賣該款盲盒6周，并記錄了銷售情況，如下表：
周數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數 | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 30 |
由于電腦故障，第二周數據現已丟失，該銷售網點負責人決定用第4、5、6周的數據求線性回歸方程，再用第1、3周數據進行檢驗.
①請用4、5、6周的數據求出
關于
的線性回歸方程
；
（注：
，
）
②若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2盒，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，一動圓與直線
相切且與圓
外切.
（1）求動圓圓心
的軌跡
的方程；
（2）若經過定點
的直線
與曲線
交于
兩點， 
是線段
的中點，過
作
軸的平行線與曲線
相交于點
，試問是否存在直線
，使得
，若存在，求出直線
的方程，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
的右焦點、右頂點分別為F，A，過原點的直線與橢圓C交于點P、Q（點P在第一象限內），連結PA，QF．若
，
的面積是
面積的3倍．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知M為線段PA的中點，連結QA，QM．
①求證：Q，F，M三點共線；
②記直線QP，QM，QA的斜率分別為
，
，
，若
，求
的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，點
是線段
的中點，將
，
分別沿
，
向上折起，使
，
重合于點
，得到三棱錐
．試在三棱錐中，
（1）證明：平面
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
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